ECO_MATH ~"TURUNAN FUNGSI"

BAHAN AJAR TURUNAN FUNGSI

Read More

~ECO-MATH~ "INTEGRAL"

BAHAN AJAR INTEGRAL

Read More

~"DERAJAT KEBEBASAN"~

Dalam statistik, tentu tidak asing mendengar kata derajat bebas atau degree of freedom (df). Namun masih banyak yang keliru dalam penetapan derajat kebebasan tersebut. 

Derajat kebebasan berkaitan dengan pada jumlah informasi yang bebas yang ada digunakan untuk membuat estimasi terhadap informasi yang lain. Perhitungan derajat kebebasan dimulai dari ukuran sampel. 

Sebagai contoh jika sampel diambil 5 orang untuk mengukur rata-rata tinggi badan kelima orang tersebut. Dalam hal ini terdapat lima sampel (n=5), jika diharapkan sampel orang yang dikumpul memiliki rata-rata tinggi badan sebesar 165 cm. Maka dari kelima orang tersebut hanya empat orang yang dapat ditentukan secara bebas tinggi badannya. 

Misalnya 159, 165, 164, 167 sedang seorang lagi tidak dapat ditentukan secara bebas agar memperoleh rata-rata tinggi badan kelima orang tersebut adalah 165 cm. 

Berikut dapat dilihat cara perhitungannya :

Jika x adalah tinggi badan orang kelima

Rata-rata = 165 cm = (159 + 165 + 164 + 167 + x ) / 5

maka x harus memiliki tinggi badan 170 cm.

Jadi derajat bebas adalah berkaitan dengan ukuran sampel. Jika parameter yang ditaksir hanya satu (artinya terdapat satu variabel) seperti contoh di atas (yaitu rata-rata tinggi badan) maka derajat kebebasan adalah n-1 = 5-1 = 4

Jika ada tiga variabel yang diukur maka derajat bebas adalah n-3 = 5-3 = 2.

Jadi derajat bebas atau degree of freedom (df) adalah 

 df = n - k

dimana

n  = jumlah sampel

k  = jumlah variabel

by MEYF

Read More

~"SKALA PENGUKURAN"~

Dalam statistika inferensia, salah satu yang harus dipahami adalah mengenai skala pengukuran dari data yang diperoleh. Adapun skala pengukuran data terbagi atas 4 :

1. Skala Nominal

Merupakan skala terendah yang hanya memiliki ciri-ciri membedakan skala ukur yang satu dengan skala ukur lainnya. Dengan kata lain hanya mengelompokkan data. Misalnya gender yang hanya terdiri dari kelompok laki-laki dan kelompok perempuan.

2. Skala Ordinal

Merupakan skala yang selain memiliki ciri-ciri membedakan juga memiliki ciri-ciri mengurutkan pada rentangan tertentu. Misalnya jabatan suatu pekerjaan yaitu operator, staff, supervisor, manager. Jabatan staff memiliki posisi lebih tinggi dibandingkan operator, jabatan supervisor memiliki posisi lebih tinggi daripada staff namun tidak dapat dikatakan bahwa jabatan supervisor dua kali lebih tinggi dibandingkan jabatan operator.

3. Skala Interval

Merupakan skala yang memiliki ciri-ciri membedakan, mengurutkan dan juga memiliki jarak yang sama. Misalnya suhu udara yaitu derajat Celcius, Fahrenheit, Reamur dan Kelvin. Suhu dikota A, B dan C adalah 25, 31, 35 derajat Celcius. Kita hanya dapat membedakan dan mengurutkan data tersebut menjadi suhu kota B lebih panas daripada kota A. Hal lain yang perlu diperhatikan adalah suhu 0 derajat Celcius bukan berarti tidak ada suhu udara, namun suhu tersebut dapat dikatakan lebih dingin.

4. Skala Rasio

Merupakan skala tertinggi yang memiliki ciri-ciri membedakan, mengurutkan, memiliki jarak yang sama dan memiliki nilai nol mutla. Contohnya ukuran panjang, berat, jumlah suatu barang. Misalkan uang saya adalah nol rupiah, artinya saya tidak punya uang.

Read More

~"JIKA NILAI INTERCEPT PADA REGRESI LINEAR BERNILAI NEGATIF"~

Sedikit membahas mengenai regresi linear yang digunakan untuk mengetahui apakah terdapat pengaruh antara variabel bebas terhadap variabel terikat. Persamaan regresi linear atau disebut juga model regresi linear yang kita ketahui secara umum adalah berbentuk :

Y = a + b1X1 + ....+ bnXn

Selanjutnya adalah menginterpretasikan hasil dari model linear tersebut. Sebagaimana yang kita ketahui untuk menguji apakah ada pengaruh variabel X1, ..., Xn maka dilakukanlah pengujian terhadap nilai koefisien regresi yang kita sebut dengan slope. Ada beberapa tahap pengujian yaitu uji parsial dengan uji t dan uji simultan dengan uji F selanjutnya adalah menentukan besarnya koefisien determinasi. 

Misalkan kita akan melihat pengaruh jumlah promosi (X) terhadap penjualan (Y), diperoleh model yang signifikan berpengaruh yaitu:

Y = 0,125 + 0,452 X + error

Interpretasi model tersebut adalah 

1. Nilai 0,125 adalah intercept yang berarti jika tidak ada promosi, maka penjualan sekitar 0,125 atau 12,5%.
2. Nilai 0,452 adalah slope yang berarti jika jumlah promosi naik satu satuan maka penjualan akan naik sebesar 0,452 atau 45,2%.

Bagaimana jika model regresinya seperti berikut ini?

Y = -0,125 + 0,452 X + error

Tentu ada yang aneh pada nilai intercept yang negatif. Dimana artinya adalah jika tidak ada promosi maka penjualan adalah negatif 0,125. Dalam dunia nyata tidak ada penjualan yang negatif. 

Pertanyaannya : Kenapa hal ini terjadi?

Jika asumsi klasik atau asumsi dasar sudah terpenuhi dengan baik, hasil analisis regresi ini tidak ada yang salah. Dalam hal ini jangkauan nilai variabel bebas seringkali tidak memasukkan nol sebagai nilai yang diamati. 

Contohnya pada skala Likert yang mulai dari skor 1. Sehingga dalam hal ini interpretasi nilai intercept tidaklah digunakan. Namun jika dalam data sampel terdapat nilai x = 0 maka nilai intercept akan bermakna jika diinterpretasikan. Jadi jika dalam olah data diperoleh nilai intercept negatif, jangan putus asa  dan bukan berarti hasil yang diperoleh adalah salah. Asalkan asumsi-asumsi regresi terpenuhi dengan baik.

Hal ini didasarkan menurut Mendenhall dkk, dalam A Second Course In Statistics - Regression Analysis 5th Edition, bahwa "..........The reason is that we are attempting to use the least squares model to predict y for a value of x (x = 0) that is outside the range of the sampel data and therefore impractical. (We have more to say about predicting outside the range of the sample data - called extrapolation). Consequently, intercept will not always have a practical interpretation. Only when x=0 is within the range of the x values in the sampel and is a practical value will have a meaningful interpretation.

Semoga Bermanfaat 

^_^

MEYF

Read More

~"LANGKAH-LANGKAH ANALISIS FAKTOR DENGAN IBM SPSS 21"~

Sebelumnya kita sudah membahas mengenai analisis faktor. Berikut akan kita bahas bagaimana cara mengolah data dengan IBM SPSS 21 dengan teknik Analisis Faktor. Data berikut diambil dari latihan halaman 139 Buku J. Supranto :

Sumber : Supranto, J. 2004. Analisis Multivariate Arti dan Interpretasi.

Dalam suatu studi mengenai hubungan antara perilaku rumah tangga dan belanja, data mengenai pertanyaan gaya hidup , diperoleh dengan menggunakan 7 butir skala yaitu 1 = sangat tidak setuju sampai 7 = sangat setuju.

X1 = saya lebih baik tinggal di rumah daripada pergi pesta

X2 = saya selalu mengecek harga walaupun pada barang murah

X3 = majalah lebih menarik daripada bioskop

X4 = saya tidak mau membeli produk yang diiklankan di billboard

X5 = saya termasuk homebody

X6 = saya menyimpan dan membelanjakan kupon

X7 = perusahaan banyak menghabiskan uang untuk membiayai iklan

Dari data di atas akan dilakukan analisis faktor dengan tujuan untuk mendapatkan faktor-faktor yang lebih sedikit dari 7 variabel di atas. Adapun langkah-langkah yang dapat dilakukan adalah :

1. Klik Start --> IBM SPSS 21. Pada Variable View isi seperti berikut :

 2. Pada Data View, input data seperti berikut :

3. Klik Analyze --> Dimension Reduction --> Factor

 

4. Pada tabel Factor Analysis, pindahkan semua variabel yang akan dianalisis ke kolom variables 

5. Pilih Descriptives dan akan muncul tabel Factor Analysis Descriptives, centang Coefficients, Significance levels, KMO and Bartlett's test of sphericity lalu continue.

6. Pilih Extraction maka akan muncul tabel Factor Analysis Rotation. Centang Varimax pada kolom method, karena tujuan kita adalah menghasilkan faktor-faktor unik dan berusaha membuat seminimum mungkin banyaknya variabel dengan muatan tinggi pada satu faktor. 

Pada kolom Display centang Rotated solution dan Loading plots lalu continue.

7. Pilih Scores maka akan muncul tabel Factor Analysis : Factor Scores. Dalam hal ini berguna jika ingin melakukan analisis lanjutan. Dan disarankan menggunakan metode principal component analysis. Centang Save as Variables lalu centang Anderson-Rubin. Dan dilanjutkan dengan centang Display factor score coefficient matrix lalu continue.

8. Klik OK

Ada tiga methode mengestimasi skor faktor, yaitu :

1. Metode Regression. Skor yang dihasilkan memiliki rata-rata 0 dan varians sama dengan kuadrat korelasi berganda antara skor faktor dengan nilai variabel aslinya. Skor yang diperoleh bisa jadi masih berkorelasi walaupun faktor adalah orthogonal.
2. Metode Bartlett. Skor yang dihasilkan memiliki rata-rata 0 dan jumlah kuadrat faktor unik berada pada range variabel yang minimal.
3. Metode Anderson-Rubin. Merupakan modifikasi dari metode Bartlett yang menjamin adanya orthogonal pada faktor yang diestimasi. Skornya akan menghasilkan mean 0 dan standar deviasi 1 serta tidak berkorelasi satu sama lainnya.

Read More

~"ANALISIS FAKTOR"~

Biasanya saya menggunakan analisis faktor adalah untuk mereduksi sejumlah n-variabel menjadi  m-faktor unik, dimana m<n. AKan tetapi m-faktor tersebut bisa menyerap sebagian besar informasi yang terkandung dalam n-variabel asli atau yang bisa memberikan sumbangan terhadap varian seluruh variabel. Dalam analisis faktor tidak terdapat variabel bebas atau pun variabel tak bebas. 

Dalan analisis multivariate terdapat dua kelompok model besar, yaitu :

1. Model Dependensi, terdapat didalamnya variabel bebas dan variabel tak bebas. Dalam hal ini melihat pengaruh variabel bebas terhadap variabel tak bebas. Dan bahkan hingga meramalkan nilai variabel tak bebas berdasarkan variabel bebas. Contohnya pada analisis regresi, analisis diskriminan, analisis varian, dll.
2. Model Interdependensi, tidak terdapat variabel bebas dan variabel tak bebas. Dalam hal ini menganalisis komponen utama berbagai jenis hubungan. Dan semua variabel dan hubungannya dianggap terjadi secara simultan. Contohnya pada analisis faktor dan analisis diskriminan.

Dalam analisis regresi linear berganda sering ditemukan terjadinya multikolinearitas yaitu adanya korelasi antara variabel bebas. Hal ini tentu akan melanggar asumsi dalam regresi linear berganda. Untuk itu, salah satu cara yang dapat dilakukan adalah mengubah n-variabel bebas yang berkorelasi menjadi beberapa m-faktor sebagai variabel baru yang tidak saling berkorelasi dengan n<m.

Ada beberapa contoh penelitian yang menggunakan analisis faktor :

1. Dalam pemasaran untuk mengidentifikasi karakteristik pelanggan yang sensitif terhadap harga.
2. Dalam manajemen SDM untuk mengidentifikasi faktor-faktor yang mempengaruhi produktivitas karyawan.
3. dll

Langkah-langkah dalam analisis faktor, yaitu :

1. Merumuskan masalah

Meliputi : 

• Tujuan analisis faktor harus diidentifikasi
• Variabel yang digunakan berdasarkan teori dan penelitian sebelumnya dan pertimbangan peneliti.
• Pengukuran variabel berdasarkan skala interval atau rasio.
• Banyaknya elemen sampel (n) harus cukup memadai. Sebagai petunjuk kasar, jika ada k variabel maka n = 4k. 

Pengujian untuk hal ini dilakukan dengan menggunakan statistik KMO (Kaiser-Meyer-Olkin) yaitu untuk mengukur kecukupan sampling. Nilai KMO yang kecil (<0,50) menunjukkan bahwa korelasi antar-pasangan variabel tidak bisa diterangkan oleh variabel lainnya dan analisis faktor tidak mungkin tepat.

2. Menentukan bentuk matriks korelasi

Analisis faktor tepat digunakan jika ada korelasi antara variabel-variabel yang diteliti. Dalam hal ini matriks korelasi bukanlah matriks identitas.  Sedangkan untuk menguji apakah analisis faktor tepat digunakan atau tidak maka digunakan pengujian "The Bartlett's test of sphericity". 

Hipotesis ujinya adalah

    Ho : matriks korelasi adalah matriks identitas (tidak ada korelasi antar variabel)

    Ha : matriks korelasi adalah bukan matriks identitas (ada korelasi antar variabel)

Ho akan ditolak jika nilai signifikansi pada Bartlett's test adalah kurang dari 5%.

Artinya terdapat korelasi antar variabel dan model tepat digunakan dengan teknik analisis faktor.

3. Menentukan metode analisis faktor

Terdapat beberapa metode analisis faktor yang biasa digunakan yaitu :

1. Principal Component Analysi Jumlah varian dalam data dipertimbangkan direkomendasikan jika banyaknya faktor harus minimum dengan memperhitungkan varian maksimum dalam data untuk dipergunakan dalam analisis multivariat lebih lanjut.
2. Common Factor Analysis, direkomendasikan untuk mengenali atau mengidentifikasi dimensi yang mendasari.

3. Menentukan banyaknya faktor

Ada beberapa prosedur yang dapat dilakukan, yaitu :

• Penentuan apriori yaitu menentukan jumlah faktor berdasarkan pengalaman sebelumnya atau teori yang mendukung. Jumlah faktor langsung ditentukan sesuai dengan yang diharapkan.
• Berdasarkan nilai eigen (eigenvalues) yaitu berdasarkan besarnya sumbangan dari faktor terhadap varian seluruh variabel asli. Dan hanya faktor yang memiliki nilai varian lebih besar dari 1 yang akan dimasukkan dalam model.
• Berdasarkan Scree Plot yaitu suatu plot dari nilai eigen sebagai fungsi banyaknya faktor. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa titik tempat di mana scree plot mulai terjadi, menunjukkan banyaknya faktor yang benar. Kenyataannya jumlah faktor dengan scree plot akan lebih banyak 1 daripada berdasarkan eigenvalues.
• Penentuan berdasarkan pada persentase varian. Petunjuk yang disarankan adalah ekstraksi faktor dihentikan jika kumulatif persentase varian sudah mencapai paling sedikit 60% atau 75% dari seluruh varian variabel asli.

4. Melakukan rotasi faktor dengan tujuan untuk mempermudah interpretasi faktor. Melalui rotasi faktor maka matriks faktor akan diubah ke matriks yang lebih sederhana. Dalam melakukan rotasi ada beberapa metode yang digunakan, yaitu orthogonal rotation dan oblique rotation.

Orthogonal rotation yang biasanya digunakan adalah varimax procedure yaitu berusaha meminimumkan banyaknya variabel dengan muatan tinggi pada satu faktor, sehingga memudahkan interpretasi faktor-faktor. Sedangkan oblique rotation digunakan jika faktor dalam populasi berkorelasi sangat kuat.

5. Melakukan interpretasi faktor. Akan lebih mudah dilakukan dengan mengenali/mengidentifikasi variabel yang muatannya (loadingnya) besar pada faktor yang sama. Dalam hal ini memberi nama dari faktor yang terbentuk.

6. Menghitung skor atau nilai faktor, hal ini dilakukan jika ingin melakukan analisis lanjutan. Seperti regresi yang mana faktor adalah hasil variabel yang tidak multikolinear, atau analisis multidiskriminan. Sedangkan jika kita hanya ingin mengidentifikasi faktor atau karakteristik maka hal ini tidak perlu dilakukan.

Metode component factor analysis tidak akan ada korelasi pada faktor-faktor yang dihasilkan. Sedangkan jika menggunakan common factor analysisi maka tidak akan menjamin bahwa faktor tersebut tidak akan berkorelasi. Menghitung faktor skor dapat dilakukan setelah model faktor dibentuk, yaitu :

Fi = wi1F1 + wi2F2 + wi3F3 + ... + wijXj + ...  wikXk

Fi  = skor (nilai) faktor ke-i

wi = bobot / koefisien faktor

k  = banyaknya variabel

i  = jumlah faktor

Timbangan atau bobot atau koefisien faktor wij digunakan untuk menggabung variabel yang dibakukan yang diperoleh dari factor score coefficient matrix.

7. Menentukan "Model Fit".

Reference :

• Sharma, Shubash, 1996. Applied Multivariate Techniques. John Wiley & Sons, Inc. Canada.
• Supranto, J., 2004. Analisis Multivariat : Arti dan Interpretasi. Rineka Cipta. Jakarta.

Read More